3.516 \(\int \cot (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=116 \[ -\frac{2 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}+\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

[Out]

(-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/S
qrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.313439, antiderivative size = 116, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 6, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.286, Rules used = {3573, 3539, 3537, 63, 208, 3634} \[ -\frac{2 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}+\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

(-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/d + ((a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/S
qrt[a - I*b]])/d + ((a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d

Rule 3573

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(3/2)/((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1
/(c^2 + d^2), Int[Simp[a^2*c - b^2*c + 2*a*b*d + (2*a*b*c - a^2*d + b^2*d)*Tan[e + f*x], x]/Sqrt[a + b*Tan[e +
f*x]], x], x] + Dist[(b*c - a*d)^2/(c^2 + d^2), Int[(1 + Tan[e + f*x]^2)/(Sqrt[a + b*Tan[e + f*x]]*(c + d*Tan
[e + f*x])), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2
, 0]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rubi steps

\begin{align*} \int \cot (c+d x) (a+b \tan (c+d x))^{3/2} \, dx &=a^2 \int \frac{\cot (c+d x) \left (1+\tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx+\int \frac{2 a b-\left (a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx\\ &=\frac{1}{2} \left (i (a-i b)^2\right ) \int \frac{1+i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx-\frac{1}{2} \left (i (a+i b)^2\right ) \int \frac{1-i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx+\frac{a^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{d}\\ &=-\frac{(a-i b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a-i b x}} \, dx,x,i \tan (c+d x)\right )}{2 d}-\frac{(a+i b)^2 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+i b x}} \, dx,x,-i \tan (c+d x)\right )}{2 d}+\frac{\left (2 a^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}\\ &=-\frac{2 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}-\frac{\left (i (a-i b)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i a}{b}+\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}+\frac{\left (i (a+i b)^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i a}{b}-\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{b d}\\ &=-\frac{2 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{d}+\frac{(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d}+\frac{(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.194539, size = 111, normalized size = 0.96 \[ \frac{-2 a^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )+(a-i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )+(a+i b)^{3/2} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cot[c + d*x]*(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

(-2*a^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]] + (a - I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[
a - I*b]] + (a + I*b)^(3/2)*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/d

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 0.684, size = 22251, normalized size = 191.8 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(d*x+c)*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 16.2777, size = 18137, normalized size = 156.35 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[1/4*(4*sqrt(2)*d^5*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*
b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(((3*a^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a
^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + sqrt(2)*(
(3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^
6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4
*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b
^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 -
(a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8
+ 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) +
sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c)
+ (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^
6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*
cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^
9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^
4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^
(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + 4
*sqrt(2)*d^5*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6
*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(-((3*a^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4
+ 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) - sqrt(2)*((3*a^5
+ 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4
) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d
^4)^(3/4) - sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^
4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 -
3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*
a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2
)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*
a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a
^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*
x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2
+ 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7
- 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))
/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + sqrt(2)
*((a^3 - 3*a*b^2)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d)*s
qrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9
*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*
b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a
^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2
- 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^
2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d
*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6
*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^
11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) - sqrt(2)*((a^3 - 3*a*b^2)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)/d^4) + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2
)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*
b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3
*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4
*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b
+ 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) + 2*(a^7
+ 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*sqrt(a)*log(-(8*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (8*a^2 - b^2)*cos(d*x + c)^2
+ b^2 - 4*(2*a*cos(d*x + c)^2 + b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/co
s(d*x + c)))/(cos(d*x + c)^2 - 1)))/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d), 1/4*(4*sqrt(2)*d^5*sqrt((a^6 + 3*
a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*
a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan
(((3*a^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)
/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 -
2*a^3*b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sq
rt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a
^4*b^4 - 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
- (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*c
os(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*(a*d^7*s
qrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9
*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*
a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*
b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a
^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4
- 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos
(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3
*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x
+ c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 +
61*a^10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + 4*sqrt(2)*d^5*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2
+ 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4
+ b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*arctan(-((3*a
^10 + 11*a^8*b^2 + 14*a^6*b^4 + 6*a^4*b^6 - a^2*b^8 - b^10)*d^4*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*
sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^13 + 14*a^11*b^2 + 25*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 5*a^5*b^8 - 2*a^3*
b^10 - a*b^12)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) - sqrt(2)*((3*a^5 + 2*a^3*b^2 - a*b^4)*d^7*sqrt((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (3*a^8 + 2*a^6*b^2 - 4*a^4*b^4
- 2*a^2*b^6 + b^8)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^
3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x
+ c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*(a*d^7*sqrt((a
^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^4 - b^4)*d^5*sqrt((9*a^4*b
^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/d^4))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^
2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 +
b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4
- b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a
^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^
4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x +
c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b
^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/
((a^2 + b^2)*cos(d*x + c)))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(3/4))/(9*a^14*b^2 + 39*a^12*b^4 + 61*a^
10*b^6 + 35*a^8*b^8 - 5*a^6*b^10 - 11*a^4*b^12 - a^2*b^14 + b^16)) + sqrt(2)*((a^3 - 3*a*b^2)*d^3*sqrt((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8 + 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a
^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt
((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) + (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*
d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^
4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a
^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos
(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos
(d*x + c))) - sqrt(2)*((a^3 - 3*a*b^2)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4) + (a^6 + 3*a^4*b^2 +
3*a^2*b^4 + b^6)*d)*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 - (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^
2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4)*log(((9*a^8
+ 12*a^6*b^2 - 2*a^4*b^4 - 4*a^2*b^6 + b^8)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c) - s
qrt(2)*((9*a^6 - 15*a^4*b^2 + 7*a^2*b^4 - b^6)*d^3*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)*cos(d*x + c)
+ (9*a^9 + 12*a^7*b^2 - 2*a^5*b^4 - 4*a^3*b^6 + a*b^8)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
- (a^3 - 3*a*b^2)*d^2*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*c
os(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)/d^4)^(1/4) + (9*a^11 + 21*a^9
*b^2 + 10*a^7*b^4 - 6*a^5*b^6 - 3*a^3*b^8 + a*b^10)*cos(d*x + c) + (9*a^10*b + 21*a^8*b^3 + 10*a^6*b^5 - 6*a^4
*b^7 - 3*a^2*b^9 + b^11)*sin(d*x + c))/((a^2 + b^2)*cos(d*x + c))) + 8*(a^7 + 3*a^5*b^2 + 3*a^3*b^4 + a*b^6)*s
qrt(-a)*arctan(sqrt(-a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))/a))/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)*d)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (a + b \tan{\left (c + d x \right )}\right )^{\frac{3}{2}} \cot{\left (c + d x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)*(a+b*tan(d*x+c))**(3/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tan(c + d*x))**(3/2)*cot(c + d*x), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)*(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out